DSP理想濾波器，低通濾波器、高通濾波器、諧振、槽口濾波器算法

DSP數(shù)字濾波器處理信號(hào)的過(guò)程為：信號(hào)采樣并轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)、輸入信號(hào)通過(guò)傅里葉變換變?yōu)轭l域信號(hào)、輸入信號(hào)與濾波器進(jìn)行卷積、卷積輸出信號(hào)進(jìn)行逆卷積、最后通過(guò)信號(hào)重建算法進(jìn)行輸出。由此可見(jiàn)數(shù)字濾波器算法在信號(hào)處理過(guò)程中占有重要位置。

一個(gè)理想濾波器在頻域應(yīng)為一個(gè)從ω₁~ω₂的方波，如下公式

然而，理想濾波器在現(xiàn)實(shí)中不可實(shí)現(xiàn)。原因在于一個(gè)濾波器的滾降不可無(wú)限大。而且從計(jì)算上看來(lái)，為實(shí)現(xiàn)在頻域上的單周期方波，時(shí)域上需要無(wú)限長(zhǎng)的波（非因果系統(tǒng)）。如將上面的理想濾波器變?yōu)闀r(shí)域信號(hào)，則有以下公式

由此可見(jiàn)為實(shí)現(xiàn)一理想濾波器，需要一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)具有無(wú)限長(zhǎng)度儲(chǔ)存空間，顯然是不可能的。在現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)中，采用近似理想濾波的設(shè)計(jì)方式，以確保此濾波器在時(shí)域與頻域同時(shí)為有限長(zhǎng)度。這意味現(xiàn)實(shí)濾波器在頻域上有滾降及波紋等不利影響，雖然這些非理想因素會(huì)影響信號(hào)質(zhì)量，但是通過(guò)設(shè)計(jì)可以將影響降低到可控范圍之內(nèi)。如在設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，通?？紤]以下近似理想濾波器形式

由上式可見(jiàn)實(shí)際濾波器由有限個(gè)系數(shù)與輸入信號(hào)組成。

在濾波器設(shè)計(jì)中，為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)通常首先設(shè)計(jì)其對(duì)應(yīng)的低通濾波器，然后再通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)楦咄ㄅc帶通濾波器。將低通濾波器變換為對(duì)應(yīng)的高通濾波器，采用下式

對(duì)應(yīng)時(shí)域沖擊響應(yīng)具有下式

當(dāng)需要增強(qiáng)或?yàn)V除特定頻率時(shí)，需要諧振器與槽口濾波器。諧振器在極點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生較大的幅度響應(yīng)，從而加強(qiáng)此頻率的振幅同時(shí)大幅削弱其他頻率振幅。一個(gè)諧振器在具有以下形式

于此相反，將零點(diǎn)置于共振處，可使得響應(yīng)頻率的振幅為0. 根據(jù)此原理可構(gòu)建槽口濾波器，濾除特定頻率的信號(hào)，同時(shí)保持其他頻率的信號(hào)。一個(gè)槽口濾波器具有以下形式