在數(shù)字信號處理的過程中，模擬信號經(jīng)過采樣與ADC從連續(xù)的模擬信號變?yōu)殡x散的數(shù)字信號。然后這些離散的數(shù)字信號通過運算單元經(jīng)過卷積運算將時域信號變?yōu)轭l域并與濾波器參數(shù)進行卷積。最終的輸出頻域信號通過逆卷積再次回到時域信號并進行重建運算。其中的變換過程如下式

在上式中，eq.1為傅里葉變換，eq.2為傅里葉逆變換。從eq.1與eq.2中可以發(fā)現(xiàn)，傅里葉變換是基于無窮長度的沖擊響應(yīng)h(n)，而在真實的數(shù)字系統(tǒng)中內(nèi)存的長度是有限的。比如，在處理一段聲音信號時，需要對此聲音信號在時域的所有波進行傅里葉變換。但是如果此信號是通過麥克風(fēng)進行實時錄入，我們是不知道未來的信號是什么的。因此，這個難題可以通過在數(shù)字處理系統(tǒng)中通過“加窗”對一個時段的信號進行傅里葉變換來進行處理。

通常的方法是對采樣點的截取，例如用n代表采樣點的編號，一個加窗函數(shù)截取長度為n=M-1個點，則此函數(shù)可表示為

                      eq.3

當(dāng)使用此窗函數(shù)截取一段時域信號h_d(n)時，卷積運算為

          eq.4

因信號處理系統(tǒng)是基于頻域信號H_d(ω)與W(ω)的卷積，對eq4的時域信號進行離散傅里葉變換可發(fā)現(xiàn)

                      eq.5

通過觀察eq3可發(fā)現(xiàn)，此窗函數(shù)為一方波，通過eq.5可寫出此窗函數(shù)在頻域的表達式

          eq.6

Eq.6又稱“矩形窗”。

利用同樣的設(shè)計原理，可設(shè)計多種近似矩形的窗函數(shù)通過頻域卷積對時域信號進行截取。如“漢寧窗”

                               eq.7

“布萊克曼窗”

                    eq.8

窗體函數(shù)對信號處理不可同時兼顧通帶帶寬與旁瓣峰值，如“矩形窗”的帶寬可設(shè)計的很窄以達到精準(zhǔn)濾波，但是旁瓣峰值較高導(dǎo)致輸出信號的信噪比較低。因此針對不同輸出信號需求選擇合適的窗函數(shù)變得重要。如下圖中在時域?qū)Ρ攘瞬煌昂瘮?shù)。

下圖為一矩形窗中M不同時對應(yīng)的不同頻域波形，可以發(fā)現(xiàn)截取長度越長參數(shù)越多，相對應(yīng)的性能越理想。

下圖展示了四種窗函數(shù)當(dāng)長度相同時的不同頻域表現(xiàn)。由下圖可見“矩形窗”具備較高滾降，但是通帶波紋與旁瓣峰值較差。而“漢明窗”的通帶波紋較低，“布萊克曼窗”的旁瓣峰值較低。