數(shù)字信號(hào)處理算法離散時(shí)間傅里葉變換與N點(diǎn)離散傅里葉變換

在數(shù)字信號(hào)處理DSP系統(tǒng)中，信號(hào)通過(guò)采樣器，模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）后進(jìn)入數(shù)字處理系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。在這個(gè)過(guò)程中，雖然輸入信號(hào)為模擬連續(xù)量，但是經(jīng)過(guò)采樣后的信號(hào)為離散的點(diǎn)。因此在DSP系統(tǒng)中，信號(hào)的處理基于離散傅里葉變換與逆離散傅里葉變換。其中一個(gè)離散信號(hào)可被表示為傅里葉級(jí)數(shù)DTFS。當(dāng)給定一個(gè)周期為N的離散信號(hào)x（n）時(shí)，對(duì)于所有x（n）=x(n+N)來(lái)說(shuō)，這個(gè)信號(hào)可被表示為由N個(gè)諧波組成的函數(shù)

其中x(n)為一個(gè)離散信號(hào)，c_k為信號(hào)分量的系數(shù)，為信號(hào)分量，N為函數(shù)周期?；诟道锶~級(jí)數(shù)的原理，一個(gè)信號(hào)的頻譜也可被表示為多個(gè)諧波頻譜的組合函數(shù)。而對(duì)于離散信號(hào)在頻域與時(shí)域間的變換稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉變換DTFT與逆離散時(shí)間傅里葉變換IDFT

其中為此信號(hào)的頻譜，而x（n）為輸入的離散信號(hào)，為多個(gè)頻率分量?；诖耸竭€可寫(xiě)出逆離散時(shí)間傅里葉變換IDTFT。

由上式可見(jiàn)當(dāng)DSP系統(tǒng)輸入信號(hào)為有限長(zhǎng)度信號(hào)時(shí)，此信號(hào)頻譜通常為無(wú)限長(zhǎng)度。

一個(gè)DSP通常通過(guò)DTFT算法，將輸入信號(hào)在頻域與數(shù)字濾波器進(jìn)行卷積。再通過(guò)IDTFT將濾波結(jié)果在頻域變換到時(shí)域，從而產(chǎn)生信號(hào)處理結(jié)果。由上式可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)度的信號(hào)來(lái)說(shuō)，其頻譜信號(hào)通常為無(wú)限長(zhǎng)度。但是對(duì)于一個(gè)數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)如MCU,FPGA來(lái)說(shuō)，存儲(chǔ)空間都是有限的。因此DTFT與IDTFT雖然在理論上成立，但是在現(xiàn)實(shí)中不可實(shí)現(xiàn)。因此為了將數(shù)字濾波算法應(yīng)用于實(shí)際的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)，DTFT算法被簡(jiǎn)化以便于使得被處理信號(hào)在時(shí)域與頻域都只有有限長(zhǎng)度，以便于在有限的儲(chǔ)存空間中進(jìn)行處理。因此具有固定長(zhǎng)度L的離散傅里葉變換DFT與IDFT被采用。

或此式可被表示為

由上式可見(jiàn)，輸入信號(hào)頻譜具有了有限長(zhǎng)度。第一個(gè)頻率元素為

，而最后一個(gè)頻率元素為。而其中可由計(jì)算機(jī)提前計(jì)算完成，計(jì)算時(shí)可通過(guò)查表簡(jiǎn)化計(jì)算。因此，在信號(hào)輸入時(shí)可采用DFT算法將信號(hào)在頻域內(nèi)表現(xiàn)為有限長(zhǎng)度頻譜信號(hào)，雖然在逆變換后的信號(hào)因頻譜丟失會(huì)有所失真，但在指定長(zhǎng)度0~N-1范圍內(nèi)仍為有效信號(hào)。